[招考]中科院大气物理研究所2006数理方程考试大纲
中科院大气物理研究所2006年硕士研究生数理方程考试大纲本《数理方程》考试大纲适用于中国科学院研究生院气象学等专业的硕士研究生入学考试。数学物理方程是一门现代数学基础课，考试的目的是考察学生对三类典型方程（弦振动方程、波动方程和拉普拉斯方程）的定解问题和常用解法的掌握情况。这是学习大气科学有关后继课程必要的数学基础。
一、考试内容
（一）数学物理中的偏微分方程
1.偏微分方程的一些基本概念
2.三个典型方程
3.数学物理方程的导出
4.数学物理方程的导出
（二）行波法
1.行波法导出一维波动方程的达朗贝尔公式（限于齐次方程）
2.弦振动问题的“依赖区间”、“决定区域”和“影响区域”的概念
3.三维波动方程的泊松公式
4.降维法
5.定解问题的公式解
6.三维波的惠更斯原理
（三）分离变量法
1.有界弦的自由振动
2.圆柱体稳态温度的第一边值问题
3.固有值问题的斯图模一刘维尔理论
4.非齐次情形
（四）积分变换方法
1.用富里叶变换解题
2.用拉普拉斯变换解题
3.用积分变换方法解题的一般原理
（五）格林函数法
1.拉普拉斯方程两种定解问题（狄里克莱问题和诺依曼问题）
2.高斯公式和格林公式
3.拉普拉斯方程的基本解
4.调和函数的一些基本性质（边界性质平均值原理、极值原理）
5.格林函数的物理意义和泊松公式
6.定解问题的公式解法
7.源象法
（六）方程的分类和适定性问题
1.两自变数的情况
2.一维波动方程初始问题的适定性
3.一维波动方程混合问题的适定性
4.调和函数的基本性质和场位方程狄氏问题的适定性
5.热传导方程混合问题的适定性
6.不适定的例子
二、考试要求
（一）典型方程和定解条件的推导
1.理解三类典型方程的物理背景和导出步骤。
2.理解定解条件所反映的物理意义。
3.了解三种定解问题（初值问题、边值问题、混合问题）的区别。知道不同方程有不同的定解问题的提法。
4.掌握线性偏微分方程解的叠加性质。
（二）分离变量法
1.掌握分离变量法，能应用于振动方程、传导方程的混合问题和特殊区域上拉普拉斯方程的狄里克莱问题。
2.掌握求解非齐次方程的固有函数法和齐次化原理。
3.了解对于非齐次边界条件的处理方法。
（三）行波法与积分变换法
1.会用行波法导出一维波动方程的达朗贝尔公式（限于齐次方程）。
2.一般了解弦振动问题的“依赖区间”、“决定区域”和“影响区域”的概念。
3.了解三维波动方程的泊松公式的导出方法。
4.理解降维法从三维波动方程的泊松公式导出二维波动方程的泊松公式以及一维波动方程的达朗贝尔公式。
5.掌握用上述三种公式求解定解问题方法。
6.根据上述三种公式了解三维波的惠更斯原理（无后效现象）和一维、二维波的弥散现象。
7.掌握付里叶变换和拉普拉斯变换求解一些定解问题方法。
（四）格林函数法
1.了解拉普拉斯方程两种定解问题（狄里克莱问题和诺依曼问题）的提法。
2.会从高斯公式导出格林第一、第二公式。
3.知道三维（二维）拉普拉斯方程的基本解，会借助基本解从格林第二公式导出调和函数的积分表达式。
4.掌握调和函数的一些基本性质（边界性质平均值原理、极值原理）。
5.理解引进格林函数的目的，及格林函数的物理意义。
6.掌握上半空间和球域的格林函数及相应的泊松公式。会用公式求解定解问题。
7.掌握用源象法写出一些特殊区域的格林函数的方法。
三、主要参考书目
1南京工学院编。数学物理方程与特殊函数。第2版。北京：高等教育出版社
2潘祖梁等编。数学物理方程。杭州：浙江大学出版
3严镇军编。数学物理方程。合肥：中国科技大学出版社
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